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·      Pensiero scientifico di Galilei – a.

 

4. - Scoperta di una legge fisica.

        

Vogliamo mostrare, attraverso un esempio, come si scopre una legge fisica, seguendo il metodo induttivo-sperimentale di Galilei.

 

         A tal fine, consideriamo un esempio molto semplice, in modo che sia più chiaro il procedimento seguito dai ricercatori.

 

         Vogliamo scoprire, mediante il metodo di Galilei:

 

·        la legge di allungamento di una molla elastica di acciaio.

 

E’ un caso particolare della legge di Hooke, che riguarda, come è ben noto, le deformazioni subite dai corpi elastici sottoposti all’azione di forze.

 

Un corpo si dice elastico se, sottoposto all’azione di forze esterne, si deforma, ma quando tali forze vengono eliminate, esso riprende la forma e il volume iniziali.

        

Naturalmente, le forze applicate al corpo devono essere sufficientemente piccole rispetto alla natura e alle dimensioni del corpo, altrimenti le deformazioni possono diventare permanenti e il corpo si può addirittura rompere.

        

         Sotto tali ipotesi, supponiamo di avere a nostra disposizione i seguenti materiali:

 

1) molla di acciaio;

2) portatesi;

3) vari pesi da 50 g;

4) asta graduata.

 

  Consideriamo le varie fasi del metodo induttivo-sperimentale di Galilei:

 

A)   Osservazione;

B)   Ipotesi;

C)   Deduzioni logiche;

D)   Esperimento;

E)    Legge.

 

         A) Osservazione.

Avendo notato, in varie circostanze, che i corpi elastici sottoposti all’azione di piccole forze si deformano e che, in particolare, le molle elastiche subiscono un allungamento, poniamo la seguente ipotesi.

 

         B) Ipotesi.

          Gli allungamenti che subisce una molla elastica sono direttamente proporzionali alle forze applicate.

 

Naturalmente questo enunciato non è ancora una legge.

Lo può diventare se gli esperimenti condotti confermano l’ipotesi posta.

 

         C) Deduzioni logiche.

         Nessuna, in questo caso.

 

         D) Esperimento.

Realizzato il dispositivo presentato in figura, si sospenda, preliminarmente, alla molla il portatesi vuoto, in modo che questa assuma una configurazione rettilinea e l’estremo più basso del portatesi sia in corrispondenza dello zero della scala graduata accanto.

 

Dopo si pone, sul portatesi, un peso F1 = 50 g e si nota l’allungamento subito dalla molla. Supponiamo che sia di 5 cm.

Poniamo, successivamente, sul portapesi altri pesi, ottenendo altri allungamenti.

Precisamente, quando i pesi da 50 g sono due, l’allungamento è di 10 cm; per tre pesi l’allungamento è di 15 cm e per 4 è di 20 cm.

Non si va oltre, per non superare i limiti di elasticità della molla.

Per poter esaminare bene questi dati, li disponiamo in una tabella a), oppure li rappresentiamo in un piano cartesiano b).

     

Vediamo entrambi i metodi: a) metodo delle tabelle; b) metodo dei grafici.

 

a)     Metodo delle tabelle.

    Indichiamo con:

        F, le forze, espresse in grammi;

        Dl, gli allungamenti, in cm;

        F/Dl, il loro rapporto, in g/cm.

 

         Ciò posto, rappresentiamo la tabella dei valori di F e Dl.

 

F (in g)

Dl (in cm)

F / Dl (g/cm)

50

5

10

100

10

10

150

15

10

200

20

10

 

Da questa tabella si deduce che il rapporto F/Dl, fra le forze e gli allungamenti, si mantiene costante, quindi: F e Dl sono direttamente proporzionali.

Quindi:

         E) Legge.

L’ipotesi è conformata dall’esperienza e, pertanto, diventa legge.

 

         Inoltre, il rapporto

 

 

costituisce l’espressione matematica (equazione fra grandezze) della legge, che si può anche scrivere

                                                       

F =  k Dl

 

In questa formula, k è detta costante di allungamento (o di elasticità) della molla e rappresenta, fisicamente, la forza, espressa in grammi, necessaria a produrre l’allungamento di 1 cm della molla.

 

      b) Metodo dei grafici.

         E’ senz’altro preferibile al precedente

In un sistema di assi cartesiani ortogonale, si riportino i valori degli allungamenti sull’asse delle ascisse e quelli delle forze sull’asse delle ordinate.

Si rappresentino, ora, i punti del piano cartesiano che hanno per ascisse gli allungamenti e per ordinate le corrispondenti forze. Unendoli con un tratto continuo di penna si ottiene una curva, che deve essere bene esaminata e studiata.

 

  5       10      15      20

F
                                                                          

 

 

 

Dl

200

150

100 

  50

 
 

 

 

 

 

 


Nel nostro caso, è molto facile rendersi conto che si tratta di una retta e, quindi, la relazione fra le due grandezze F e Dl è quella della diretta proporzionalità.

Quindi, ancora una volta:

E) Legge.

L’ipotesi è confermata dall’esperienza e, pertanto, diventa legge.

 

·        Osservazioni.

I) Notiamo che sono stati considerati valori molto semplici delle due grandezze, perché ho supposto di avere a disposizione solo pesetti da 50 grammi ma, naturalmente, potremmo immaginare di avere pesetti più piccoli e di ottenere valori anche decimali per F e per Dl.

         II) Con strumenti di maggiore sensibilità bisognerebbe, inoltre, applicare la teoria degli errori.

Il procedimento sarebbe più complesso, perché ora sul piano cartesiano non avremmo più una successione di punti, ma di rettangoli.

Infatti, come è noto dalla teoria degli errori, ad ogni coppia di misure della forza e dell’allungamento, non corrisponderebbe più un solo punto, ma tutti i punti di un rettangolo (rettangolo degli errori), avente dimensioni doppie dei loro errori assoluti.

Di conseguenza, sarebbe ben più difficile, in generale, individuare la forma e l’equazione della curva passante per alcuni  punti di questi rettangoli.

III) Il nostro scopo è comunque conseguito, perché noi volevamo solo mostrare la strada da seguire per giungere ad una legge fisica.

 

        

4.   - Interpolazione della legge.

 

La legge fisica quantitativa conserva la sua piena validità solo nei limiti dei valori delle grandezze, da cui dipende, per le quali è stata effettivamente verificata sperimentalmente.

Tuttavia, quando l’equazione fisica della legge consente di esprimere una grandezza in funzione di un’altra, come nel caso della legge di Hooke (che consente di calcolare gli allungamenti in funzione delle forze o viceversa), allora è possibile calcolare i valori di una delle due grandezze, per assegnati valori dell’altra, purché questi siano compresi fra valori verificati direttamente dall’esperimento.

Ad esempio, nel caso della precedente legge, abbiamo supposto di avere usato pesetti con valori da 50 g fino 200 g. Allora possiamo valutare i valori degli allungamenti per tutti i pesi tensori compresi fra 50g e 200g.

         Il procedimento che consente ciò è detto, semplicemente, di interpolazione, se si serve dei valori della tabella.

         Si dice di interpolazione grafica, se utilizza il grafico della legge.

         Così, se la forza applicata ha valore  F =  75 g, allora si ottiene subito, dalla formula

 

                                                                   

l’allungamento richiesto, che sarebbe di 7,5 cm.

 

Se, però, non si conosce alcuna formula che leghi le due grandezze, oppure questa non consente di valutare agevolmente i valori corrispondenti, mentre è invece  nota una tabella di valori sperimentali, oppure una successione di punti  del piano cartesiano, allora sorge il vero problema dell’interpolazione.

         L’argomento, però, viene rinviato alle lezioni di matematica, perché qui non abbiamo spazio per occuparcene.

 

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